Chcete skutečně zcela „přesné“ hodnoty?

A nemá váš věštec zrovna obsazenou telefonní linku?

Pokračujeme v řešení předchozí „klasické“ úlohy s chodcem na přechodu.

Budeme se zabývat už jen jeho druhou částí tj. možným rozpětím rychlosti, kterou je chodec sražen vozidlem jedoucím počáteční rychlostí 60 km/h tj. 16,7 m/s, přičemž šel po přechodu šířky 3 metry cca jeho středem.

Ukázková animace znázorňující modelovou situaci

Zatím nám bude stačit tužka, papír a kalkulačka.
Mnohem efektivnější metodu ukážeme až příště.

Výchozím bodem, ke kterému jsme dospěli již minule je zde vzdálenost přední části vozidla 27 metrů od okraje vodorovného značení přechodu, tzv. „zebry“.
Tu jsme použili  právě proto, že jsme ji zrovinka  v této poloze–vzdálenosti– dovodili při předchozím výpočtu pomocí středních hodnot a to  jak zrychlení (zde zpomalení brzděním) tak rychlosti.
Byla to podélná vzdálenost, ze které ještě řidič jedoucí 50 km/h zvládl zastavit před přechodem při použití vstupních hodnot (rychlost, zpomalení, dráha) konstantních velikostí I ta dovozená podélná poloha je tedy  jakousi „střední hodnotou“možné skutečné vzdálenosti.
Jde pouze o cvičnou úlohu, která má poukázat na složitost a možná i důležitost správného dovození onoho „technicky přijatelného rozmezí“ celé nehodové analýzy.
Mohli bychom si vymyslet úplně jinou situaci, s jinými účastníky, za jiných podmínek, ale z důvodu možnosti porovnání zůstáváme právě  u této.
Co píše  pan profesor Bradáč  v naší „Modré bibli“ o chybách při znaleckých výpočtech?
Že chyby (měření) se základně dělí na systematické a náhodné.
Ta systematická je, když např. blbě přiložíte měřidlo atd.
Systematickou chybu eliminujeme jedině snad měřením jiným měřidlem.

A pak jsou ty chyby náhodné, právě ty nás zajímají nejvíc.

Už sám výraz „náhodné“ evokuje dojem (a to správný) že celá teorie chyb jde ruku v ruce s teorií pravděpodobnosti a matematickou statistikou.

Nebudeme rozebírat kompletní teorii chyb, pro první seznámení postačí, že zmíníme ověřenou skutečnost, že nejpravděpodobnější  hodnotou měřené veličiny je aritmetický průměr.
Ale pozor, je tu ještě dovětek  za předpokladu, že výsledky jednotlivých měření  jsou  zatíženy pouze  náhodnými chybami a roste-li počet měření „bez omezení“.
Zároveň je známo, že jednotlivá měření zatížená pouze náhodnými chybami podléhají tzv. Gaussovu, jinak též zvanému Gauss-Laplaceovu či  „normálnímu“ rozdělení.
Bez dalšího složitého dokazování alespoň zmíníme klíčový teorém – centrální limitní větu:

Centrální limitní věta (CLV) v teorii pravděpodobnosti označuje tvrzení, podle něhož se rozdělení výběrového průměru blíží k normálnímu rozdělení, a to bez ohledu na to, jaké je rozdělení průměrované náhodné veličiny.
CLV má jistá omezení, ale těmi se zabývat nebudeme.
Výběrový průměr lze jinak nazvat též „aritmetickým průměrem vzorků“.
Výběrový průměr…jak tomu pojmu rozumět?

Měříme hodnotu nějaké veličiny.
Délku, čas…abychom se ujistili, že měříme dobře a s technicky vyhovující přesností
(Zase–co to je? Tento pojem nebudeme raději dále rozvádět, abychom čtenáře neuvrhli do ještě větší  deprese)
Provedeme  např. x měření.
Třeba 5, 10…v závislosti třeba na tom, kolik máme času.
Kdybychom měli hooodně času, uděláme měření třeba 50 nebo 100.

Ovšem nyní třeba zmínit jednu  z moudrých pouček dávného průkopníka statistiky (už nevíme kterého)  praví:
 „Nemusím vypít sud vína, abych poznal, jak je víno v sudu kvalitní. Stačí mi ze sudu  ochutnat! “

A jsme u jádra věci a víme, co může znamenat ten „výběr“ a z něj „výběrový průměr“.
 X provedených měření (třeba 5) považujme za onen výběr (ještě lépe „náhodný výběr“) a z něj vypočteme onen (aritmetický) průměr.
Ten se sice „blíží“ skutečné hodnotě měřené veličiny, ale ještě to pořád není ono..

Vraťme se  však ještě k bájné „CLV“ a Gauss-Laplaceovu „normálnímu“ rozdělení.

Známá zvonová křivka ukazuje ve své svislé ose  pravděpodobnou hodnotu náhodné veličiny µ a všechny možné hodnoty oné veličiny leží pod „zvonem“ v rozmezí ±3 σ (respektive jde o 99,7 % celého intervalu možných skutečných   hodnot oné  veličiny, sama křivka se vodorovné osy (x) nikdy nedotkne, nicméně pravděpodobnost, že skutečná hodnota (velikost) zkoumané veličiny je mimo interval „šesti sigma“ již nepatrná, pod ±3σ se z obou stran „vejde“ 99,7 % hodnot.
Samotný interval ± 2σ obsáhne 95 % (přesně 95,4%) hodnot a u soudních pojednání v anglosaských zemích je nazýván „nade vší pochybnost“.
U nás (protože jsme vždy „papežštější nežli papež“) pracujeme převážně v relaci ± 2,5 σ  ≈ 99 % = „TECHNICKÁ JISTOTA“)

Pořád jsme si ale neujasnili, co je  ta „sigma“ :
 σ je „směrodatná odchylka“, zvaná často „kvadratická“, zejména ve starší literatuře.
Jde o tzv. „míru rozptylu“.
Jsou-li měřené údaje nebo sledované hodnoty málo vzdáleny od střední hodnoty (jakožto  aritmetického průměru), je rozptyl hodnot malý.

Lze přiblížit jednoduchým příkladem: zásahy do terče

Střelec A vystřelil 3 rány a trefil 8,9,7
Střední hodnota(aritm.pr.) je zde 8 (7+8+9=24; 24/3=8)
Odchylka zásahů  od 8 je +1 a -1
Logicky chybnou úvahou by se zde  dalo říct, že +1 a – 1 se „vyruší“, což by však vedlo k technicky nesmyslnému závěru, že odchylka je nulová, což zjevně není.
Proto plusové a mínusové odchylky umocníme čímž zajistíme, že všechny nabudou kladných hodnoty
-1² = 1

0² = stále 0

1²= 1

1+0+1 = 2

Střelec B vystřelil  taky 3 rány a trefil 5,10,9 = průměr tedy 24:3 = opět 8
5: 5-8 = -3;  -3² = 9
9: 9-8= 1;     1² = 1

10: 10-8 = 2; 2²= 4
________________

9+1+4 = 14

Rozptyl zásahů střelce A pak činí 2/3 (3 rány) tedy 0,66
Rozptyl zásahů střelce B           14/3 = 4,66

a druhá odmocina z rozptylu je právě ta „směrodatná odchylka“, tedy
√0,66 = 0,81 = odchylka zásahů střelce A

√4,66 = 2,16 = odchylka zásahů střelce B

Zadáme pro kontrolu do Excelu:
vzorce  

Kupodivu to sedí…Ověříme ještě střelce B

Pokud jste dospěli až sem, gratulace!
Klíčenky však budeme rozdávat až na další metě „Monte Carlo“.

Než však dále   postoupíme k řešení naší školní úlohy, je třeba se zmínit ještě o Gaussovu zákonu šíření chyb.
Pro vysvětlení použijeme opět předchozí školní příklad.
Vyřešíme zde rozsah možných rychlostí nárazu do chodce když řidič spatří chodce ve vozovce právě těch  27 metrů před přechodem a jede rychlostí  60 km/h = 16,7 m/s

Vstupní hodnoty:
Reakční doba řidiče: 0,9 až 1,5 s, střední hodnota 1,2 s, technická jistota  = ± 2,5 σ →σ _t = 0,6/5 = 0,12 (s)
Tuto reakční dobu považujme již včetně technické prodlevy brzd (0,2s)
Brzdné zpomalení a = 6 až 8 m/s², střední hodnota 7m/s², technická jistota  = ± 2,5 σ → σ_a = 2/5 = 0,4 (m/s²)
Brzdná dráha   střední hodnota dle postupu ve výpočtu, lze předpokládat chybu ± 5 %, z toho pak určit odchylku jako ±2,5 σ
Odchylka může být i větší např. v případě, že nedokážeme tzv. „přesně“ určit počátek brzdné dráhy vozidla z brzdných stop.
Počáteční rychlost vozidla: tu můžeme buď považovat za konstantní, byť víme, že tachometr běžně „proměřuje“ o cca 3 až 4 km/h dolů při padesátce tj. 50 km/h na tachometru odpovídá 46 až 47 km/h, ale to může být u různých vozidel různě, předpokládejme ji zde 58 ± 2 km tedy 15,6 až 16,7 m/s  střední hodnota 16,1; σ_v = 1,1/5 = 0,22 (m/s)
Dráha ujetá vozidlem tedy sestává ze dvou úseků:
–první je dráha ujetá po dobu, kdy probíhá reakce (optická, svalová, blablabla..) včetně „hamtnutí“ nohou na brzdový pedál a prodlevy brzdového účinku (zvýší se tlak v hlavním brzdovém válci a přenese se kapalinou do brzdičů, destičky jsou z jistě nezatuhlých poloh řádně udržovaných brzd  přitlačeny na brzdové kotouče atakdále atakdále)
–druhá část je pak dráha vlastního zpomalování vozidla.

Dráha „reakční“ – jde o rovnoměrný pohyb.
s_R = t_R * v₀    
Jedna veličina je s přivřením oka konstantní (rychlost) zatímco čas možné reakce je „od-od“)
Zde je to ještě snadné:
rozpětí 0,9 *16,7 →15m 
až
 1,5 * 16,7 →25 m ujeto, než řidič začne brzdit

Pozor!
Vidíte už teď ten rozdíl?
10 metrů podélné  polohy vozidla a to jsme ještě nic nespočítali.

 Nyní  ještě navážeme další  pohyb vozidla, které již zpomaluje.
Shrneme ještě  před tím dosavadní zjištění:
Podélná poloha přední části vozidla při zahájení zpomalování–od chodce:
27-15+1,5 = 13,5 metru
až27-25+1,5 = 3,5 metru.
Zjevně nás nejdříve bude zajímat ta rychlost vozidla při nárazu–sražení chodce při brzdění na kratší dráze tj. 3,5 metru…
Konečná rychlost po brzdění na dráze s se zpomalení a :
v₂ = √(v² – 2as)
ovšem nyní již budeme pracovat s použitím teorie chyb.

Obecně (dle Gaussovy teorie přenášení chyb) platí, že :
střední chyba funkce  y = (x₁, x_2…)
σ =√( dy/ d_x1 )² *σ₁² +( dy/ d_x2 )² *σ₂ ² …obdobně dál, tedy u funkce s několika proměnnými (obecně značenými x_i ) jsou provedeny vždy parciální derivace podle příslušné proměnné a výsledná odchylka je pak odmocninou součtu násobků druhých mocnin jednotlivých parciálních derivací funkce y  s druhými mocninami jednotlivých dílčích odchylek.
Zní to podobně, jako když se sypou brambory do sklepa nebo když si Němec objednává jídlo v restauraci ve svém rodném jazyce,  ale hned to objasníme.
Vzorec pro rychlost po brzdění na dráze s tedy: v₂ = √(v² – 2as) = (v₁² – 2as)^1/2
A budeme derivovat: podle v, podle a a nakonec  podle s
Není v našich silách vás poučit o základech diferenciálního počtu, takže musíte věřit, že provedením jednotlivých parciálních derivací dojdeme k těmto výsledkům:

Derivace podle v:  
vnitřní funkce je (v²-2as) = třeba g; vnější je pak √g tedy g^1/2
derivace vnitřní funkce (parciální podle v) je 2v, derivace vnější funkce je
1/2 g ^-1/2  tedy 1/(2*√(v²-2as)); parciální derivace složené funkce tedy 2v/(2√(v²-2as))
 Dvojky se pokrátí a máme z toho  v/(√(v²-2as)
Derivace podle a: derivace vnitřní funkce (v²-2as) je – 2s; derivace vnější funkce pak stejná, výsledkem je  -s/(√(v²-2as)
a obdobně pak „dopadne“ derivace podle s tj. -a/(√(v²-2as)

Výsledkem našeho úporného dosavadního snažení je pak  již dosazený vzorec (opravdu to nebudeme vypisovat znovu obecně, protože je to ve Wordu otročina) pro celkovou odchylku (chybu) s těmito parametry:
v₂ = 16,1; σ_v = 0,22 (m/s)
a= 7;  σ_a 0,4 (m/s²)
s = 3,5 (3,3 až 3,7); σ_s = 0,08 (m) – zrovna tohle bychom v tomto případě mohli zjevně zanedbat

σ =

Když tedy nyní vypočteme střední možnou  nárazovou rychlost  v_n   = √(16,1² – 2*7*3,5) = 14,5 m/s tedy 52 km/h, v souladu s předchozím půjde o technicky možný interval rychlostí 14,5 ± (2,5 * 0,31) tedy 14,5 ±0,78 tedy 49 až 55 km/h
Kolik je to v procentech? 
Asi ± 5%
Chápete už proč se tímto postupem duševně ještě nenarušený znalec v praxi nezabývá?

Zbývá nám ještě dořešit variantu „příznivější“, tj. brzdění na dráze 13,5 resp. 12  metrů na okraj přechodu  ze 60 km/h.
To vypadá na první pohled podstatně lépe.
Nejprve informativně potřebné zpomalení k zastavení–co kdyby?
 12 metrů brzdná dráha není málo…
a = v²/2s tedy při zavedení střední rychlosti 60 km/h = 16,7 m/s je potřebné zpomalení k zastavení  a= 16,7²/24 = 11, 6 m/s²
Litujeme, takto možná brzdí formule 1, ale ne běžné silniční vozidlo.

Ještě  druhá (dolní) mez možného rozsahu nárazových rychlostí

Parametry:
brzdná dráha 13,5 metru ±5 % = 12,8 až 14,2 m ≈ σ=0,28
v₂ = 16,1; σ_v = 0,22 (m/s)
a= 7;  σ_a 0,4 (m/s²)
s = 13,5 (13 až 14); σ_s = 1/6 = 0,17 (m)

σ = viz. horní vzorec, jen s = 13,5 = 0,6

rychlost při srážce chodce:
v_n   = √(16,1² – 2*7*13,5) ± 2,5*0,6 tedy 8,4 ± 1,5 tedy 6,9 až 9,6 m/s tedy 25 až 34,5 km/h

Na závěr z  obou dovozených intervalů  vytvoříme sjednocení – a máme zde relaci možné nárazové rychlosti do chodce v rozmezí 24 až 55 km/h, přičemž nic z uvedeného intervalu nelze považovat za technicky vyloženě nepřijatelnou hodnotu.
Možná bychom se teď nechali „zlomit“ a použili menší rozpětí reakční doby…

Největší „paseku“ nám tam totiž zjevně napáchalo právě rozmezí  reakční doby– přičemž ani jednu z mezí tj. 0,9 až 1,5s se započtením technické prodlevy brzdného účinku, bez ní „čistá“ doba reakce řidiče 0,7 až 1,3 s  jeví se zcela přijatelnou.
Může to být klidně ta nejčastěji používaná 1 sekunda, ale taky méně nebo více.

Závěrečný  výsledek zde tedy může připomínat pověstné bádání cimrmanologů, kteří metodou rozpadu uhlíku C₁₂ určili datum příchodu Cimrmana do Liptákova na rok 1910 ± 200 let.

Poučení z předchozího?

–důležitost co možná  nejpřesnějšího zaměření stop na místě nehody tj. brzdná dráha, místo střetu atd.

– porovnání s dalšími možnostmi  a postupy nehodové analýzy tj.porovnání poškození (např. kapota, čelní sklo), prozkoumání vzdálenosti odhození chodce, řešení dle zákona zachování hybnosti, simulační řešení v programovém prostředí pro analýzu nehod, konzultace rozsahu zranění chodce se soudními lékaři.

Výše uvedený „manuální“ postup opravdu žádný znalec, který se chce v dobrém duševním zdraví dožít přiměřeného věku nejspíš nepoužije!

Carl Friedrich Gauss,významný německý matematik a fyzik zemřel v roce 1855 a zanechal nám bohatý odkaz znalostí.
Ovšem my dnes  zase máme jiné technické možnosti a proto na závěr nasadíme silnější a mnohem efektivnější kalibr – metodu MONTE CARLO, svěží dílko Stanislawa Ulama a Johna von Neumanna z amerického jaderného programu Manhattan.
Metoda byla poprvé prakticky  (a úspěšně) použita při stochastické simulaci možnosti vzniku a průběhu  řetězové štěpné  reakce nukleární bomby ve 40. letech minulého století .
A že je to metoda efektivní potvrzuje třeba i skutečnost, že…už první americký zkušební nukleární test „Trinity“ a následně všechny další (bohužel včetně „Little Boy“ a „Fat Man“) proběhly úspěšně.

Metoda Monte Carlo nám umožní velmi pružně a efektivně „laborovat“ s rozmezími vstupních hodnot, velmi snadno si porovnáme výsledky např. na hladině spolehlivosti „technická jistota 99 %“ vs. „nade vší pochybnost 95 %“, nedejbože kdybychom se „spokojili“ s 90 % tj ±1,7 σ
Ale o tom  až zase příště.

Začneme asi tradičně „Buffonovou jehlou“ a pak se vrhneme rovnou do našeho oboru.
Možná zbude i čas na pár slov o novější modifikaci metody MC – „Latin Hypercube Sampling, zkratka LHS“ v možná nepříliš precizním překladu „simulace metodou latinských hyperkrychlí“.
Ukážeme si snad jediný v současnosti zdarma dostupný doplněk MS Excel, který nám umožní snadné sestavení simulací jak „klasickou“ metodou MC, tak LHS.
Pak už asi konečná–k teorii superstrun a obecné teorii warp pohonu se zřejmě již nedostaneme…


Literatura k případnému samostudiu:

Helmut Swoboda “ Moderní statistika“
– vyšla naposledy v českém překladu v roce 1977, tehdy byla relativně drahá – 50 Kčs
Lze ji sehnat v internetových antikvariátech, v době publikace příspěvku byla k mání v šesti nabídkách na www.trhknih.cz od 59 do 200 Kč.

Popularizující práce umožňuje i nezasvěcenému čtenáři pochopit nejabstraktnější a nejobtížnější otázky moderní matematické statistiky.
Upozorňuje na četná úskalí statistických metod, uvádí příklady zneužívání statistiky a varujepřed povrchními interpretacemi.
Výklad je doplněn mnoha příklady, které byly pro české vydání místy pozměněny.